Podstawy programowe - Matematyka
Wymagania ogólne
1 Sprawność rachunkowa. Uczeń wykonuje proste działania pamięciowe na liczbach naturalnych, całkowitych i ułamkach, zna i stosuje algorytmy działań pisemnych oraz potrafi wykorzystać te umiejętności w sytuacjach praktycznych.
2 Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje i przetwarza informacje tekstowe, liczbowe, graficzne, rozumie i interpretuje odpowiednie pojęcia matematyczne, zna podstawową terminologię, formułuje odpowiedzi i prawidłowo zapisuje wyniki.
3 Modelowanie matematyczne. Uczeń dobiera odpowiedni model matematyczny do prostej sytuacji, stosuje poznane wzory i zależności, przetwarza tekst zadania na działania arytmetyczne i proste równania.
4 Rozumowanie i tworzenie strategii. Uczeń prowadzi proste rozumowanie składające się z niewielkiej liczby kroków, ustala kolejność czynności (w tym obliczeń) prowadzących do rozwiązania problemu, potrafi wyciągnąć wnioski z kilku informacji podanych w różnej postaci.
Wymagania szczegółowe
1.1 Liczby naturalne w dziesiątkowym układzie pozycyjnym. Uczeń odczytuje i zapisuje liczby naturalne wielocyfrowe.
1.2 Liczby naturalne w dziesiątkowym układzie pozycyjnym. Uczeń interpretuje liczby naturalne na osi liczbowej.
1.3 Liczby naturalne w dziesiątkowym układzie pozycyjnym. Uczeń porównuje liczby naturalne.
1.4 Liczby naturalne w dziesiątkowym układzie pozycyjnym. Uczeń zaokrągla liczby naturalne.
1.5 Liczby naturalne w dziesiątkowym układzie pozycyjnym. Uczeń liczby w zakresie do 30 zapisane w systemie rzymskim przedstawia w systemie dziesiątkowym, a zapisane w systemie dziesiątkowym przedstawia w systemie rzymskim.
2.1 Działania na liczbach naturalnych. Uczeń dodaje i odejmuje w pamięci liczby naturalne dwucyfrowe, liczby wielocyfrowe.
w przypadkach takich jak np. 230 + 80 lub 4600 – 1200; liczbę jednocyfrową dodaje do dowolnej liczby naturalnej i odejmuje od do¬wol¬nej liczby naturalnej;
2.2 Działania na liczbach naturalnych. Uczeń dodaje i odejmuje liczby naturalne wielocyfrowe pisemnie, a także za pomocą kalkulatora.
2.3 Działania na liczbach naturalnych. Uczeń mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach).
2.4 Działania na liczbach naturalnych. Uczeń wykonuje dzielenie z resztą liczb naturalnych.
2.5 Działania na liczbach naturalnych. Uczeń stosuje wygodne dla niego sposoby ułatwiające obliczenia, w tym przemienność i łączność dodawania i mnożenia.
2.6 Działania na liczbach naturalnych. Uczeń porównuje różnicowo i ilorazowo liczby naturalne.
2.7 Działania na liczbach naturalnych. Uczeń rozpoznaje liczby naturalne podzielne przez 2, 3, 5, 9, 10, 100.
2.8 Działania na liczbach naturalnych. Uczeń rozpoznaje liczbę złożoną, gdy jest ona jednocyfrowa lub dwucyfrowa, a także, gdy na istnienie dzielnika wskazuje poznana cecha podzielności.
2.9 Działania na liczbach naturalnych. Uczeń rozkłada liczby dwucyfrowe na czynniki pierwsze.
2.10 Działania na liczbach naturalnych. Uczeń oblicza kwadraty i sześciany liczb naturalnych.
2.11 Działania na liczbach naturalnych. Uczeń stosuje reguły dotyczące kolejności wykonywania działań.
2.12 Działania na liczbach naturalnych. Uczeń szacuje wyniki działań.
3.1 Liczby całkowite. Uczeń podaje praktyczne przykłady stosowania liczb ujemnych.
3.2 Liczby całkowite. Uczeń interpretuje liczby całkowite na osi liczbowej.
3.3 Liczby całkowite. Uczeń oblicza wartość bezwzględną.
3.4 Liczby całkowite. Uczeń porównuje liczby całkowite.
3.5 Liczby całkowite. Uczeń wykonuje proste rachunki pamięciowe na liczbach całkowitych.
4.1 Ułamki zwykłe i dziesiętne. Uczeń opisuje część danej całości za pomocą ułamka.
4.2 Ułamki zwykłe i dziesiętne. Uczeń przedstawia ułamek jako iloraz liczb naturalnych, a iloraz liczb naturalnych jako ułamek.
4.3 Ułamki zwykłe i dziesiętne. Uczeń skraca i rozszerza ułamki zwykłe.
4.4 Ułamki zwykłe i dziesiętne. Uczeń sprowadza ułamki zwykłe do wspólnego mianownika.
4.5 Ułamki zwykłe i dziesiętne. Uczeń przedstawia ułamki niewłaściwe w postaci liczby mieszanej i odwrotnie.
4.6 Ułamki zwykłe i dziesiętne. Uczeń zapisuje wyrażenia dwumianowane w postaci ułamka dziesiętnego i odwrotnie.
4.7 Ułamki zwykłe i dziesiętne. Uczeń zaznacza ułamki zwykłe i dziesiętne na osi liczbowej oraz odczytuje ułamki zwykłe i dziesiętne zaznaczone na osi liczbowej.
4.8 Ułamki zwykłe i dziesiętne. Uczeń zapisuje ułamek dziesiętny skończony w postaci ułamka zwykłego.
4.9 Ułamki zwykłe i dziesiętne. Uczeń zamienia ułamki zwykłe o mianownikach będących dzielnikami liczb 10, 100, 1000 itd. na ułamki dziesiętne skończone dowolną metodą (przez rozszerzanie ułamków zwykłych, dzielenie licznika przez mianownik w pamięci, pisemnie lub za pomocą kalkulatora).
4.10 Ułamki zwykłe i dziesiętne. Uczeń zapisuje ułamki zwykłe o mianownikach innych niż wymienione w pkt 9 w postaci rozwinięcia dziesiętnego nieskończonego (z użyciem trzech kropek po ostatniej cyfrze), dzieląc licznik przez mianownik w pamięci, pisemnie lub za pomocą kalkulatora.
4.11 Ułamki zwykłe i dziesiętne. Uczeń zaokrągla ułamki dziesiętne.
4.12 Ułamki zwykłe i dziesiętne. Uczeń porównuje ułamki (zwykłe i dziesiętne).
5.1 Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych. Uczeń dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli ułamki zwykłe o mianownikach jedno- lub dwucyfrowych, a także liczby mieszane.
5.2 Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych. Uczeń dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli ułamki dziesiętne w pamięci (w najprostszych przykładach), pisemnie i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach).
5.3 Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych. Uczeń wykonuje nieskomplikowane rachunki, w których występują jednocześnie ułamki zwykłe i dziesiętne.
5.4 Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych. Uczeń porównuje różnicowo ułamki.
5.5 Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych. Uczeń oblicza ułamek danej liczby naturalnej.
5.6 Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych. Uczeń oblicza kwadraty i sześciany ułamków zwykłych i dziesiętnych oraz liczb mieszanych.
5.7 Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych. Uczeń oblicza wartości prostych wyrażeń arytmetycznych, stosując reguły dotyczące kolejności wykonywania działań.
5.8 Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych. Uczeń wykonuje działania na ułamkach dziesiętnych używając własnych poprawnych strategii lub z pomocą kalkulatora.
5.9 Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych. Uczeń szacuje wyniki działań.
6.1 Elementy algebry. Uczeń korzysta z nieskomplikowanych wzorów, w których występują oznaczenia literowe, zamienia wzór na formę słowną.
6.2 Elementy algebry. Uczeń stosuje oznaczenia literowe nieznanych wielkości liczbowych i zapisuje proste wyrażenie algebraiczne na podstawie informacji osadzonych w kontekście praktycznym.
6.3 Elementy algebry. Uczeń rozwiązuje równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą występującą po jed-nej stronie równania (poprzez zgadywanie, dopełnianie lub wykonanie dzia¬łania od¬wrot¬nego).
7.1 Proste i odcinki. Uczeń rozpoznaje i nazywa figury punkt, prosta, półprosta, odcinek.
7.2 Proste i odcinki. Uczeń rozpoznaje odcinki i proste prostopadłe i równoległe.
7.3 Proste i odcinki. Uczeń rysuje pary odcinków prostopadłych i równoległych.
7.4 Proste i odcinki. Uczeń mierzy długość odcinka z dokładnością do 1 milimetra.
7.5 Proste i odcinki. Uczeń wie, że aby znaleźć odległość punktu od prostej, należy znaleźć długość odpowie-dniego odcinka prostopadłego.
8.1 Kąty. Uczeń wskazuje w kątach ramiona i wierzchołek.
8.2 Kąty. Uczeń mierzy kąty mniejsze od 180 stopni z dokładnością do 1 stopnia.
8.3 Kąty. Uczeń rysuje kąt o mierze mniejszej niż 180 stopni.
8.4 Kąty. Uczeń rozpoznaje kąt prosty, ostry i rozwarty.
8.5 Kąty. Uczeń porównuje kąty.
8.6 Kąty. Uczeń rozpoznaje kąty wierzchołkowe i kąty przyległe oraz korzysta z ich własności.
9.1 Wielokąty, koła, okręgi. Uczeń rozpoznaje i nazywa trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne, równo-boczne i równoramienne.
9.2 Wielokąty, koła, okręgi. Uczeń konstruuje trójkąt o trzech danych bokach; ustala możliwość zbudowania trójkąta (na podstawie nierówności trójkąta).
9.3 Wielokąty, koła, okręgi. Uczeń stosuje twierdzenie o sumie kątów trójkąta.
9.4 Wielokąty, koła, okręgi. Uczeń rozpoznaje i nazywa kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez.
9.5 Wielokąty, koła, okręgi. Uczeń zna najważniejsze własności kwadratu, prostokąta, rombu, równoległoboku, trapezu.
9.6 Wielokąty, koła, okręgi. Uczeń wskazuje na rysunku, a także rysuje cięciwę, średnicę, promień koła i okręgu.
10.1 Bryły. Uczeń rozpoznaje graniastosłupy proste, ostrosłupy, walce, stożki i kule w sytuacjach praktycznych i wskazuje te bryły wśród innych modeli brył.
10.2 Bryły. Uczeń wskazuje wśród graniastosłupów prostopadłościany i sześciany i uzasadnia swój wybór.
10.3 Bryły. Uczeń rozpoznaje siatki graniastosłupów prostych i ostrosłupów.
10.4 Bryły. Uczeń rysuje siatki prostopadłościanów.
11.1 Obliczenia w geometrii. Uczeń oblicza obwód wielokąta o danych długościach boków.
11.2 Obliczenia w geometrii. Uczeń oblicza pola kwadratu, prostokąta, rombu, równoległoboku, trójkąta, trapezu przedstawionych na rysunku (w tym na własnym rysunku pomocniczym) oraz w sytuacjach praktycznych.
11.3 Obliczenia w geometrii. Uczeń stosuje jednostki pola metr kwadratowy, centymetr kwadratowy,kilometr kwadratowy, milimetr kwadratowy, decymetr kwadratowy, ar, hektar (bez zamiany jednostek w trakcie obliczeń).
11.4 Obliczenia w geometrii. Uczeń oblicza objętość i pole powierzchni prostopadłościanu przy danych długościach krawędzi.
11.5 Obliczenia w geometrii. Uczeń stosuje jednostki objętości i pojemności litr, mililitr, decymetr sześcienny, metr sześcienny, centymetr sześcienny, milimetr sześcienny.
11.6 Obliczenia w geometrii. Uczeń oblicza miary kątów, stosując przy tym poznane własności kątów i wielokątów.
12.1 Obliczenia praktyczne. Uczeń interpretuje 100% danej wielkości jako całość, 50% – jako połowę, 25% ? jako jedną czwartą, 10% – jako jedną dziesiątą, a 1% – jako setną część danej wielkości liczbowej.
12.2 Obliczenia praktyczne. Uczeń w przypadkach osadzonych w kontekście praktycznym oblicza procent danej wielkości, w stopniu trudności typu 50%, 10%, 20%.
12.3 Obliczenia praktyczne. Uczeń wykonuje proste obliczenia zegarowe na godzinach, minutach i sekundach.
12.4 Obliczenia praktyczne. Uczeń wykonuje proste obliczenia kalendarzowe na dniach, tygodniach, miesiącach, latach.
12.5 Obliczenia praktyczne. Uczeń odczytuje temperaturę (dodatnią i ujemną).
12.6 Obliczenia praktyczne. Uczeń zamienia i prawidłowo stosuje jednostki długości metr, centymetr, decymetr, mili-metr, kilometr.
12.7 Obliczenia praktyczne. Uczeń zamienia i prawidłowo stosuje jednostki masy gram, kilogram, dekagram, tona.
12.8 Obliczenia praktyczne. Uczeń oblicza rzeczywistą długość odcinka, gdy dana jest jego długość w skali oraz dłu-gość odcinka w skali, gdy dana jest jego rzeczywista długość.
12.9 Obliczenia praktyczne. Uczeń w sytuacji praktycznej oblicza drogę przy danej prędkości i danym czasie, prędkość przy danej drodze i danym czasie, czas przy danej drodze i danej prędkości; stosuje jednostki prędkości km/h, m/s.
13.1 Elementy statystyki opisowej. Uczeń gromadzi i porządkuje dane.
13.2 Elementy statystyki opisowej. Uczeń odczytuje i interpretuje dane przedstawione w tekstach, tabelach, diagramach
i na wykresach.
14.1 Zadania tekstowe. Uczeń czyta ze zrozumieniem prosty tekst zawierający informacje liczbowe.
14.2 Zadania tekstowe. Uczeń wykonuje wstępne czynności ułatwiające rozwiązanie zadania, w tym rysunek pomocniczy lub wygodne dla niego zapisanie informacji i danych z treści zadania.
14.3 Zadania tekstowe. Uczeń dostrzega zależności między podanymi informacjami.
14.4 Zadania tekstowe. Uczeń dzieli rozwiązanie zadania na etapy, stosując własne, poprawne, wygodne dla niego strategie rozwiązania.
14.5 Zadania tekstowe. Uczeń do rozwiązywania zadań osadzonych w kontekście praktycznym stosuje poznaną wiedzę z zakresu arytmetyki i geometrii oraz nabyte umiejętności rachunkowe, a także własne poprawne metody.
14.6 Zadania tekstowe. Uczeń weryfikuje wynik zadania tekstowego, oceniając sensowność rozwiązania.
Wymagania ogólne
1. Wykorzystywanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym, używa języka matematycznego do opisu rozumowania i uzyskanych wyników.
2. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji. Uczeń używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych, interpretuje pojęcia matematyczne i operuje obiektami matematycznymi.
3. Modelowanie matematyczne. Uczeń dobiera model matematyczny do prostej sytuacji, buduje model matematyczny danej sytuacji.
4. Użycie i tworzenie strategii. Uczeń stosuje strategię jasno wynikającą z treści zadania, tworzy strategię rozwiązania problemu.
5. Rozumowanie i argumentacja. Uczeń prowadzi proste rozumowania, podaje argumenty uzasadniające poprawność rozumowania.
Wymagania szczegółowe
1.1 Liczby wymierne dodatnie. Uczeń odczytuje i zapisuje liczby naturalne dodatnie w systemie rzymskim (w zakresie do 3000).
1.2 Liczby wymierne dodatnie. Uczeń dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli liczby wymierne zapisane w postaci ułamków zwykłych lub rozwinięć dziesiętnych skończonych zgodnie z własną strategią obliczeń (także z wykorzystaniem kalkulatora).
1.3 Liczby wymierne dodatnie. Uczeń zamienia ułamki zwykłe na ułamki dziesiętne (także okresowe), zamienia ułamki dziesiętne skończone na ułamki zwykłe.
1.4 Liczby wymierne dodatnie. Uczeń zaokrągla rozwinięcia dziesiętne liczb.
1.5 Liczby wymierne dodatnie. Uczeń oblicza wartości nieskomplikowanych wyrażeń arytmetycznych zawierających ułamki zwykłe i dziesiętne.
1.6 Liczby wymierne dodatnie. Uczeń szacuje wartości wyrażeń arytmetycznych.
1.7 Liczby wymierne dodatnie. Uczeń stosuje obliczenia na liczbach wymiernych do rozwiązywania problemów w kontekście praktycznym, w tym do zamiany jednostek (jednostek prędkości, gęstości itp.).
2.1 Liczby wymierne (dodatnie i niedodatnie). Uczeń interpretuje liczby wymierne na osi liczbowej. Oblicza odległość między dwiema liczbami na osi liczbowej.
2.2 Liczby wymierne (dodatnie i niedodatnie). Uczeń wskazuje na osi liczbowej zbiór liczb spełniających warunek typu: x>3, x<5.
2.3 Liczby wymierne (dodatnie i niedodatnie). Uczeń dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli liczby wymierne.
2.4 Liczby wymierne (dodatnie i niedodatnie). Uczeń oblicza wartości nieskomplikowanych wyrażeń arytmetycznych zawierających liczby wymierne.
3.1 Potęgi. Uczeń oblicza potęgi liczb wymiernych o wykładnikach naturalnych.
3.2 Potęgi. Uczeń zapisuje w postaci jednej potęgi: iloczyny i ilorazy potęg o takich samych podstawach, iloczyny i ilorazy potęg o takich samych wykładnikach oraz potęgę potęgi (przy wykładnikach naturalnych).
3.3 Potęgi. Uczeń porównuje potęgi o różnych wykładnikach naturalnych i takich samych podstawach oraz porównuje potęgi o takich samych wykładnikach naturalnych i różnych dodatnich podstawach.
3.4 Potęgi. Uczeń zamienia potęgi o wykładnikach całkowitych ujemnych na odpowiednie potęgi o wykładnikach naturalnych.
3.5 Potęgi. Uczeń zapisuje liczby w notacji wykładniczej, tzn. w postaci a•10k, gdzie 1<a<10 oraz k jest liczbą całkowitą.
4.1 Pierwiastki. Uczeń oblicza wartości pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia z liczb, które są odpowiednio kwadratami lub sześcianami liczb wymiernych.
4.2 Pierwiastki. Uczeń wyłącza czynnik przed znak pierwiastka oraz włącza czynnik pod znak pierwiastka.
4.3 Pierwiastki. Uczeń mnoży i dzieli pierwiastki drugiego stopnia.
4.4 Pierwiastki. Uczeń mnoży i dzieli pierwiastki trzeciego stopnia.
5.1 Procenty. Uczeń przedstawia część pewnej wielkości jako procent lub promil tej wielkości i odwrotnie.
5.2 Procenty. Uczeń oblicza procent danej liczby.
5.3 Procenty. Uczeń oblicza liczbę na podstawie danego jej procentu.
5.4 Procenty. Uczeń stosuje obliczenia procentowe do rozwiązywania problemów w kontekście praktycznym, np. oblicza ceny po podwyżce lub obniżce o dany procent, wykonuje obliczenia związane z VAT, oblicza odsetki dla lokaty rocznej.
6.1 Wyrażenia algebraiczne. Uczeń opisuje za pomocą wyrażeń algebraicznych związki między różnymi wielkościami.
6.2 Wyrażenia algebraiczne. Uczeń oblicza wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych.
6.3 Wyrażenia algebraiczne. Uczeń redukuje wyrazy podobne w sumie algebraicznej.
6.4 Wyrażenia algebraiczne. Uczeń dodaje i odejmuje sumy algebraiczne.
6.5 Wyrażenia algebraiczne. Uczeń mnoży jednomiany, mnoży sumę algebraiczną przez jednomian oraz, w nietrudnych przykładach, mnoży sumy algebraiczne.
6.6 Wyrażenia algebraiczne. Uczeń wyłącza wspólny czynnik z wyrazów sumy algebraicznej poza nawias.
6.7 Wyrażenia algebraiczne. Uczeń wyznacza wskazaną wielkość z podanych wzorów, w tym geometrycznych i fizycznych.
7.1 Równania. Uczeń zapisuje związki między wielkościami za pomocą równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, w tym związki między wielkościami wprost proporcjonalnymi i odwrotnie proporcjonalnymi.
7.2 Równania. Uczeń sprawdza, czy dana liczba spełnia równanie stopnia pierwszego z jedną niewiadomą.
7.3 Równania. Uczeń rozwiązuje równania stopnia pierwszego z jedną niewiadomą.
7.4 Równania. Uczeń zapisuje związki między nieznanymi wielkościami za pomocą układu dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.
7.5 Równania. Uczeń sprawdza, czy dana para liczb spełnia układ dwóch równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi.
7.6 Równania. Uczeń rozwiązuje układy równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi.
7.7 Równania. Uczeń za pomocą równań lub układów równań opisuje i rozwiązuje zadania osadzone w kontekście praktycznym.
8.1 Wykresy funkcji. Uczeń zaznacza w układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkty o danych współrzędnych.
8.2 Wykresy funkcji. Uczeń odczytuje współrzędne danych punktów.
8.3 Wykresy funkcji. Uczeń odczytuje z wykresu funkcji: wartość funkcji dla danego argumentu, argumenty dla danej wartości funkcji, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie, dla jakich ujemne, a dla jakich zero.
8.4 Wykresy funkcji. Uczeń odczytuje i interpretuje informacje przedstawione za pomocą wykresów funkcji (w tym wykresów opisujących zjawiska występujące w przyrodzie, gospodarce, życiu codziennym).
8.5 Wykresy funkcji. Uczeń oblicza wartości funkcji podanych nieskomplikowanym wzorem i zaznacza punkty należące do jej wykresu.
9.1 Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa. Uczeń interpretuje dane przedstawione za pomocą tabel, diagramów słupkowych i kołowych, wykresów.
9.2 Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa. Uczeń wyszukuje, selekcjonuje i porządkuje informacje z dostępnych źródeł.
9.3 Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa. Uczeń przedstawia dane w tabeli, za pomocą diagramu słupkowego lub kołowego.
9.4 Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa. Uczeń wyznacza średnią arytmetyczną i medianę zestawu danych.
9.5 Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa. Uczeń analizuje proste doświadczenia losowe (np. rzut kostką, rzut monetą, wyciąganie losu) i określa prawdopodobieństwa najprostszych zdarzeń w tych doświadczeniach (prawdopodobieństwo wypadnięcia orła w rzucie monetą, dwójki lub szóstki w rzucie kostką, itp.).
10.1 Figury płaskie. Uczeń korzysta ze związków między kątami utworzonymi przez prostą przecinającą dwie proste równoległe.
10.2 Figury płaskie. Uczeń rozpoznaje wzajemne położenie prostej i okręgu, rozpoznaje styczną do okręgu.
10.3 Figury płaskie. Uczeń korzysta z faktu, że styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności.
10.4 Figury płaskie. Uczeń rozpoznaje kąty środkowe.
10.5 Figury płaskie. Uczeń oblicza długość okręgu i łuku okręgu.
10.6 Figury płaskie. Uczeń oblicza pole koła, pierścienia kołowego, wycinka kołowego.
10.7 Figury płaskie. Uczeń stosuje twierdzenie Pitagorasa.
10.8 Figury płaskie. Uczeń korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i w trapezach.
10.9 Figury płaskie. Uczeń oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów.
10.10 Figury płaskie. Uczeń zamienia jednostki pola.
10.11 Figury płaskie. Uczeń oblicza wymiary wielokąta powiększonego lub pomniejszonego w danej skali.
10.12 Figury płaskie. Uczeń oblicza stosunek pól wielokątów podobnych.
10.13 Figury płaskie. Uczeń rozpoznaje wielokąty przystające i podobne.
10.14 Figury płaskie. Uczeń stosuje cechy przystawania trójkątów.
10.15 Figury płaskie. Uczeń korzysta z własności trójkątów prostokątnych podobnych.
10.16 Figury płaskie. Uczeń rozpoznaje pary figur symetrycznych względem prostej i względem punktu. Rysuje pary figur symetrycznych.
10.17 Figury płaskie. Uczeń rozpoznaje figury, które mają oś symetrii, i figury, które mają środek symetrii. Wskazuje oś symetrii i środek symetrii figury.
10.18 Figury płaskie. Uczeń rozpoznaje symetralną odcinka i dwusieczną kąta.
10.19 Figury płaskie. Uczeń konstruuje symetralną odcinka i dwusieczną kąta.
10.20 Figury płaskie. Uczeń konstruuje kąty o miarach 60 stopni, 30 stopni, 45 stopni.
10.21 Figury płaskie. Uczeń konstruuje okrąg opisany na trójkącie oraz okrąg wpisany w trójkąt.
10.22 Figury płaskie. Uczeń rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności.
11.1 Bryły. Uczeń rozpoznaje graniastosłupy i ostrosłupy prawidłowe.
11.2 Bryły. Uczeń oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka, kuli (także w zadaniach osadzonych w kontekście praktycznym).
11.3 Bryły. Uczeń zamienia jednostki objętości.
Wymagania ogólne
1 Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik. PP
2 Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Uczeń używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. PP
3 Modelowanie matematyczne. Uczeń dobiera model matematyczny do prostej sytuacji i krytycznie ocenia trafność modelu. PP
4 Użycie i tworzenie strategii. Uczeń stosuje strategię, która jasno wynika z treści zadania. PP
5 Rozumowanie i argumentacja. Uczeń prowadzi proste rozumowanie, składające się z niewielkiej liczby kroków. PP
101 Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego do opisu rozumowania i uzyskanych wyników. PR
102 Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Uczeń rozumie i interpretuje pojęcia matematyczne oraz operuje obiektami matematycznymi. PR
103 Modelowanie matematyczne. Uczeń buduje model matematyczny danej sytuacji, uwzględniając ograniczenia i zastrzeżenia. PR
104 Użycie i tworzenie strategii. Uczeń tworzy strategię rozwiązania problemu. PR
105 Rozumowanie i argumentacja. Uczeń tworzy łańcuch argumentów i uzasadnia jego poprawność. PR
Wymagania szczegółowe
1.1 Liczby rzeczywiste. Uczeń przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach ( np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg). PP
1.2 Liczby rzeczywiste. Uczeń oblicza wartości wyrażeń arytmetycznych (wymiernych). PP
1.3 Liczby rzeczywiste. Uczeń posługuje się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje prawa działań na pierwiastkach. PP
1.4 Liczby rzeczywiste. Uczeń oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych. PP
1.5 Liczby rzeczywiste. Uczeń wykorzystuje podstawowe własności potęg (również w zagadnieniach związanych z innymi dziedzinami wiedzy, np. fizyką, chemią, informatyką). PP
1.6 Liczby rzeczywiste. Uczeń wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym. PP
1.7 Liczby rzeczywiste. Uczeń oblicza błąd bezwzględny i względny przybliżenia. PP
1.8 Liczby rzeczywiste. Uczeń posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej. PP
1.9 Liczby rzeczywiste. Uczeń wykonuje obliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk z lokat (również złożonych na procent składany i na okres krótszy niż rok). PP
2.1 Wyrażenia algebraiczne. Uczeń używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b)2, a2 – b2 PP
3.1 Równania i nierówności. Uczeń sprawdza, czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania lub nierówności. PP
3.2 Równania i nierówności. Uczeń wykorzystuje interpretację geometryczną układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi. PP
3.3 Równania i nierówności. Uczeń rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą. PP
3.4 Równania i nierówności. Uczeń rozwiązuje równania kwadratowe z jedną niewiadomą. PP
3.5 Równania i nierówności. Uczeń rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą. PP
3.6 Równania i nierówności. Uczeń korzysta z definicji pierwiastka do rozwiązywania równań typu x3 = -8. PP
3.7 Równania i nierówności. Uczeń korzysta z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań typu x(x + 1)(x - 7) = 0. PP
3.8 Równania i nierówności. Uczeń rozwiązuje proste równania wymierne, prowadzące do równań liniowych lub kwadratowych, np. (x + 1)/(x + 3) = 2, (x + 1)/x = 2x. PP
4.1 Funkcje. Uczeń określa funkcję za pomocą wzoru, tabeli, wykresu, opisu słownego. PP
4.2 Funkcje. Uczeń oblicza ze wzoru wartość funkcji dla danego argumentu. Posługuje się poznanymi metodami rozwiązywania równań do obliczenia, dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje daną wartość. PP
4.3 Funkcje. Uczeń odczytuje z wykresu funkcji (dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, maksymalne przedziały, w których funkcja maleje, rośnie, ma stały znak, punkty, w których funkcja przyjmuje w podanym przedziale wartość największą lub najmniejszą). PP
4.4 Funkcje. Uczeń na podstawie wykresu funkcji f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x + a), y = f(x) + a, y = -f(x), y = f(-x). PP
4.5 Funkcje. Uczeń rysuje wykres funkcji liniowej korzystając z jej wzoru. PP
4.6 Funkcje. Uczeń wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o funkcji lub o jej wykresie. PP
4.7 Funkcje. Uczeń interpretuje wskaźniki występujące we wzorze funkcji liniowej. PP
4.8 Funkcje. Uczeń szkicuje wykres funkcji kwadratowej, korzystając z jej wzoru. PP
4.9 Funkcje. Uczeń wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie. PP
4.10 Funkcje. Uczeń interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje). PP
4.11 Funkcje. Uczeń wyznacza wartość najmniejszą i wartość największą funkcji kwadratowej w przedziale. PP
4.12 Funkcje. Uczeń wyznacza wartość najmniejszą i wartość największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym. PP
4.13 Funkcje. Uczeń wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp. (także osadzonych w kontekście praktycznym). PP
4.14 Funkcje. Uczeń szkicuje wykresy funkcji wykładniczych dla różnych podstaw. PP
4.15 Funkcje. Uczeń posługuje się funkcjami wykładniczymi do opisu zjawisk fizycznych, chemicznych, a także w zagadnieniach osadzonych w kontekście praktycznym. PP
5.1 Ciągi. Uczeń wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym. PP
5.2 Ciągi. Uczeń bada, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny. PP
5.3 Ciągi. Uczeń stosuje wzory na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. PP
5.4 Ciągi. Uczeń stosuje wzory na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. PP
6.1 Trygonometria. Uczeń wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0 stopni do 180 stopni. PP
6.2 Trygonometria. Uczeń korzysta z przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych (odczytanych z tablic lub obliczonych za pomocą kalkulatora). PP
6.3 Trygonometria. Uczeń oblicza miarę kąta ostrego, dla której funkcja trygonometryczna przyjmuje daną wartość (miarę dokładną albo – korzystając z tablic lub kalkulatora – przybliżoną). PP
6.4 Trygonometria. Uczeń stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi: sin2a + cos2a = 1, tga = sina/cosa oraz sin(90 - a) = cosa. PP
6.5 Trygonometria. Uczeń znając wartość jednej z funkcji: sinus lub cosinus, wyznacza wartości pozostałych funkcji tego samego kąta ostrego. PP
7.1 Planimetria. Uczeń stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym. PP
7.2 Planimetria. Uczeń korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów stycznych. PP
7.3 Planimetria. Uczeń rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także w kontekście praktycznym) cechy podobieństwa trójkątów. PP
7.4 Planimetria. Uczeń korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych, w tym ze wzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych dwóch bokach i kącie między nimi. PP
8.1 Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Uczeń wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty (w postaci kierunkowej lub ogólnej). PP
8.2 Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Uczeń bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych. PP
8.3 Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Uczeń wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt. PP
8.4 Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Uczeń oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych. PP
8.5 Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Uczeń oblicza współrzędne środka odcinka. PP
8.6 Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Uczeń oblicza odległość dwóch punktów. PP
8.7 Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Uczeń znajduje obrazy niektórych figur w symetrii osiowej względem osi układu współrzędnych i symetrii środkowej względem początku układu. PP
9.1 Stereometria. Uczeń rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi itp.), oblicza miary tych kątów. PP
9.2 Stereometria. Uczeń rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami i płaszczyznami (między krawędziami i ścianami, przekątnymi i ścianami), oblicza miary tych kątów. PP
9.3 Stereometria. Uczeń rozpoznaje w walcach i w stożkach kąty między odcinkami i oraz kąty między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów. PP
9.4 Stereometria. Uczeń rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąt między ścianami. PP
9.5 Stereometria. Uczeń określa jaką figurą jest przekrój prostopadłościanu płaszczyzną. PP
9.6 Stereometria. Uczeń stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości. PP
10.1 Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Uczeń oblicza średnią ważoną i odchylenie standardowe zestawu danych (także w przypadku danych odpowiednio pogrupowanych), interpretuje te parametry dla danych empirycznych. PP
10.2 Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Uczeń zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych stosuje regułę mnożenia i regułę dodawania. PP
10.3 Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Uczeń oblicza prawdopodobieństwo w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa. PP
101.1 Liczby rzeczywiste. Uczeń wykorzystuje pojęcie wartości bezwzględnej i jej interpretację geometryczną, zaznacza na osi liczbowej zbiory opisane za pomocą równań i nierówności typu: |x - a| = b, |x - a| < b, |x - a| ? b. PR
101.2 Liczby rzeczywiste. Uczeń stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu. PR
102.1 Wyrażenia algebraiczne. Uczeń używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b)3, a3 ± b3 PR
102.2 Wyrażenia algebraiczne. Uczeń dzieli wielomiany przez dwumian ax + b. PR
102.3 Wyrażenia algebraiczne. Uczeń rozkłada wielomian na czynniki stosując wzory skróconego mnożenia, grupowanie wyrazów lub wyłączając wspólny czynnik przed nawias. PR
102.4 Wyrażenia algebraiczne. Uczeń dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany. PR
102.5 Wyrażenia algebraiczne. Uczeń wyznacza dziedzinę prostego wyrażenia wymiernego z jedną zmienną, w którym w mianowniku występują tylko wyrażenia dające się łatwo sprowadzić do iloczynu wielomianów liniowych i kwadratowych. PR
102.6 Wyrażenia algebraiczne. Uczeń dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli wyrażenia wymierne rozszerza wyrażenia wymierne. PR
103.1 Równania i nierówności. Uczeń stosuje wzory Vi?te’a. PR
103.2 Równania i nierówności. Uczeń rozwiązuje równania i nierówności liniowe i kwadratowe z parametrem. PR
103.3 Równania i nierówności. Uczeń rozwiązuje układy równań, prowadzące do równań kwadratowych. PR
103.4 Równania i nierówności. Uczeń stosuje twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian x - a. PR
103.5 Równania i nierówności. Uczeń stosuje twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych. PR
103.6 Równania i nierówności. Uczeń rozwiązuje równania wielomianowe dające się łatwo sprowadzić do równań kwadratowych. PR
103.7 Równania i nierówności. Uczeń rozwiązuje łatwe nierówności wielomianowe. PR
103.8 Równania i nierówności. Uczeń rozwiązuje proste nierówności wymierne, np. (x + 1)/(x + 3) > 2 (x + 3)/(x2 - 16) < 2x/(x2 - 4x) (3x - 2)/(4x - 7) ? (1 - 3x)/(5 - 4x). PR
103.9 Równania i nierówności. Uczeń rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną, o poziomie trudności nie wyższym, niż: ||x + 1| + 2| > 3, |x + 3| + |x - 5| > 12. PR
104.1 Funkcje. Uczeń na podstawie wykresu funkcji y = f(x) naszkicuje wykresy funkcji y = |f(x)|, y = c ? f(x), y = f(c ? x). PR
104.2 Funkcje. Uczeń szkicuje wykresy funkcji logarytmicznych dla różnych podstaw. PR
104.3 Funkcje. Uczeń posługuje się funkcjami logarytmicznymi do opisu zjawisk fizycznych, chemicznych, a także w zagadnieniach osadzonych w kontekście praktycznym. PR
104.4 Funkcje. Uczeń szkicuje wykres funkcji określonej w różnych przedziałach różnymi wzorami odczytuje własności takich funkcji z wykresu PR
105.1 Ciągi. Uczeń wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem rekurencyjnym. PR
105.2 Ciągi. Uczeń oblicza granice ciągów korzystając z granic ciągów typu 1/n , 1/n2 oraz z twierdzeń o działaniach na granicach ciągów. PR
105.3 Ciągi. Uczeń rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy. PR
106.1 Trygonometria. Uczeń stosuje miarę łukową, zamienia miarę łukową kąta na stopniową i odwrotnie. PR
106.2 Trygonometria. Uczeń wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens dowolnego kąta o mierze wyrażonej w stopniach lub radianach (przez sprowadzenie do przypadku kąta ostrego). PR
106.3 Trygonometria. Uczeń wykorzystuje okresowość funkcji trygonometrycznych. PR
106.4 Trygonometria. Uczeń posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych (np. gdy rozwiązuje nierówności typu sinx > a, cosx ? a, tgx > a. PR
106.5 Trygonometria. Uczeń stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumy i różnicy sinusów i cosinusów kątów. PR
106.6 Trygonometria. Uczeń rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne typu sin2x = 1/2, sin2x + cosx = 1, sinx + cosx = 1, cos2x < 1/2. PR
107.1 Planimetria. Uczeń stosuje twierdzenia charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg i czworokąty opisane na okręgu. PR
107.2 Planimetria. Uczeń stosuje twierdzenie Talesa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa do obliczania długości odcinków i ustalania równoległości prostych. PR
107.3 Planimetria. Uczeń znajduje obrazy niektórych figur geometrycznych w jednokładności (odcinka, trójkąta, czworokąta itp.). PR
107.4 Planimetria. Uczeń znajduje obrazy niektórych figur geometrycznych w jednokładności (odcinka, trójkąta, czworokąta itp.). PR
107.5 Planimetria. Uczeń znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia sinusów i cosinusów. PR
108.1 Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Uczeń interpretuje graficznie nierówność liniową z dwiema niewiadomymi oraz układ takich nierówności. PR
108.2 Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Uczeń bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań ogólnych. PR
108.3 Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Uczeń oblicza odległość punktu od prostej. PR
108.4 Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Uczeń wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci ogólnej i przechodzi przez dany punkt. PR
108.5 Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Uczeń posługuje się równaniem okręgu (x - a)2 + (y - b)2 = r2 oraz opisuje koła za pomocą nierówności. PR
108.6 Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Uczeń wyznacza punkty wspólne prostej i okręgu. PR
108.7 Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Uczeń oblicza współrzędne oraz długość wektora, dodaje i odejmuje wektory oraz mnoży je przez liczbę. Interpretuje geometrycznie działania na wektorach. PR
108.8 Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Uczeń stosuje wektory do opisu przesunięcia wykresu funkcji. PR
109.1 Stereometria. Uczeń określa jaką figurą jest dany przekrój sfery płaszczyzną. PR
109.2 Stereometria. Uczeń określa jaką figurą jest przekrój graniastosłupa lub ostrosłupa płaszczyzną. PR
110.1 Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Uczeń wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji, wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych. PR
110.2 Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Uczeń oblicza prawdopodobieństwo warunkowe. PR
110.3 Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Uczeń korzysta z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym. PR
111.1 Rachunek różniczkowy. Uczeń oblicza granice funkcji (i granice jednostronne), korzystając z twierdzeń o działaniach na granicach i z własności funkcji ciągłych. PR
111.2 Rachunek różniczkowy. Uczeń oblicza pochodne funkcji wymiernych. PR
111.3 Rachunek różniczkowy. Uczeń korzysta z geometrycznej i fizycznej interpretacji pochodnej. PR
111.4 Rachunek różniczkowy. Uczeń korzysta z własności pochodnej do wyznaczania przedziałów monotoniczności funkcji. PR
111.5 Rachunek różniczkowy. Uczeń znajduje ekstrema funkcji wielomianowych i wymiernych. PR
111.6 Rachunek różniczkowy. Uczeń stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych. PR
